命題７
ある数がある数の約数であるように、引かれた数が引かれた数の同じ約数であるならば、全体が全体の約数であると、余りもまた余りの同じ約数である。
数ABを数CDの約数であるように引かれたAEが引かれたCFの同じ約数であるとする。
全体ABが全体CDの約数であるように余りEBが余りFDもまた同じ約数であることをいう。
AEがCFの約数であるようにEBをCGの同じ約数とする。
さてAEがCFの約数であるようにEBがCGの同じ約数であるから、それゆえにAEがCFの約数であるようにABがGFの同じ約数である。propositionⅦ．５
しかし、仮定により、AEがCFの約数であるようにABはCDの同じ約数であり、それゆえにＡＢがＧＦの約数であるようにABはCDの同じ約数である。それゆえにGFはCDと等しい。
それぞれからCFを引く。それから余りGCは余りFDと等しい。
さてAEがCFの約数であるようにＥBはＧCの同じ約数であり、GCは余りFDと等しいから、それゆえにAEがCFの約数であるようにＥBはＦDの同じ約数である。
しかしAEがCFの約数であるようにABはCDの同じ約数であり、それゆえに全体ABが全体CDの約数であるように余りEBが余りFDの同じ約数である。
それゆえに、ある数がある数の約数であるように、引かれた数が引かれた数の同じ約数であるならば、全体が全体の約数であると、余りもまた余りの同じ約数である。
証明終了